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अनंत को समझना चाहते हैं? पफ पेस्ट्री से शुरू करें।

2021

निम्नलिखित यूजेनिया चेंग द्वारा परे इन्फिनिटी से एक अंश है।

मैं लगभग निश्चित हूं कि मैं माउंट एवरेस्ट की चोटी पर कभी नहीं जाऊंगा। मैं टेलीपोर्टेशन की संभावना को खुले तौर पर छोड़ दूंगा, लेकिन इसके अलावा, मुझे यकीन है कि मैं कभी नहीं जाऊंगा। मैं भी लगभग निश्चित रूप से दक्षिण ध्रुव पर कभी नहीं जाऊंगा। मैं माउंट एवरेस्ट पर चढ़ने वाले किसी को नहीं जानता, लेकिन मैं एक खगोल वैज्ञानिक को जानता हूं जो दक्षिण ध्रुव पर काम करता है। मुझे पता है कि दक्षिणी ध्रुव विमान से जाना मुश्किल है, लेकिन अभी भी केवल बहुत दूर है। मुझे पता है कि माउंट एवरेस्ट केवल सबसे ऊंचा है। लेकिन मेरे लिए वे दोनों अनंत रूप से बहुत दूर हो सकते हैं क्योंकि मैं वहां कभी नहीं जाऊंगा।

अनंतता मौजूद है, लेकिन क्या हम कभी वहां पहुंच सकते हैं? क्या हम कभी असीम रूप से कई काम कर सकते हैं, शायद अगर वे असीम रूप से छोटे हैं? इससे पहले कि हम वास्तव में देखें कि हम इस बारे में कैसे समझ बना सकते हैं, हम उन चीजों के बारे में सोचने जा रहे हैं जो इतनी बड़ी लगती हैं कि वे लगभग अनंत हो सकती हैं, और कई बार हम लगभग असीम रूप से कुछ करने लगते हैं।

शतरंज की बिसात पर चावल को लेकर एक पुरानी आशंका है। कहानी यह है कि एक आदमी शतरंज की बिसात के पहले वर्ग पर चावल का एक दाना मांगता है, दूसरे वर्ग पर दोगुना, तीसरे वर्ग पर दोगुना और तब तक जब तक कि बिसात पूरी न हो जाए। सवाल यह है कि वह कितना चावल प्राप्त करेगा? संक्षिप्त जवाब है: बल्कि बहुत कुछ। लेकिन वास्तव में कितना?

यह सिद्धांत रूप में एक मुश्किल सवाल नहीं है, क्योंकि आपको बस 2 से गुणा करना है और सभी उत्तरों को एक साथ जोड़ना है जब तक कि आपने सभी 64 भागों को पूरा नहीं किया। हालाँकि, यदि आप यह कोशिश करते हैं, तो आप पाएंगे कि संख्या बड़ी तेज़ी से बड़ी तेज़ी से मिलती है, आपके कैलकुलेटर या यहाँ तक कि आपका कंप्यूटर सामान्य सेटिंग्स में संभाल सकता है (जब तक कि आपके पास वहां पर कुछ विशेष कम्प्यूटेशनल उपकरण न हों)। गणना में तेजी लाने के लिए एक चाल है, लेकिन आप अभी भी एक बहुत, बहुत बड़ी संख्या से निपटने के लिए समाप्त होते हैं: 18, 446, 744, 073, 709, 551, 615 चावल।

अलबत्ता, हम बेतुके-गंदे गणित के सवालों को छोड़कर, आमतौर पर अनाज में चावल को मापते हैं। (मैंने पहली बार एक गणित पाठ में इस प्रश्न के बारे में सुना और हाथ से उत्तर निकालने की कोशिश की। मुझे यह गलत लगा।) तो यह व्यावहारिक रूप से कितना चावल है? मैंने सिर्फ 1 ग्राम चावल वजन करने और फिर अनाज गिनने की कोशिश की, और यह लगभग 50 का लग रहा था। इसलिए हम यह अनुमान लगा सकते हैं:

कटोरा = 100 ग्राम = 5000 अनाज व्यक्ति = प्रति दिन चावल के 4 कटोरे = 20, 000 अनाज दुनिया = 7 अरब लोग = 140, 000, 000, 000, 000 अनाज वर्ष = लगभग 500 दिन = 70, 000, 000, 000, 000, 000 अनाज

इसके अंत में 16 शून्य हैं। हमारे पास अनाज की संख्या 18, 446, 744, 073, 709, 551, 615 थी, जो अंत में 19 शून्य के साथ लगभग 2 है: यह 3 और शून्य, लगभग 1000 का एक कारक है। इसलिए ऐसा लगता है कि हम दुनिया की आबादी के लिए फ़ीड कर सकते हैं लगभग 1000 साल। (इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखते हुए कि, जिस तरह से इस समय हम जा रहे हैं, दुनिया की आबादी हर साल बहुत बढ़ रही है।) मेरी गणना बहुत क्रूड थी, लेकिन सामान्य विचार देता है: बस द्वारा जब आप एक शतरंज की बिसात पर घूमते हैं, तो कुछ सहज रूप से दोगुनी मात्रा में करते हुए, आप जल्दी से एक असंभव मात्रा में चावल प्राप्त करते हैं, वर्तमान में दुनिया में इससे भी अधिक चावल मौजूद हैं।

पफ पेस्ट्री एक ही सिद्धांत पर निर्भर करती है, कि बार-बार गुणा करने से चीजें बहुत तेजी से बढ़ती हैं। पफ पेस्ट्री में स्पष्ट रूप से चमत्कारी परतों की संख्या होती है, और वे केवल तीन छह बार में आटा को मोड़कर बनाई जाती हैं। आटा को शुरू करने के लिए मक्खन की एक मोटी परत होती है, सिर्फ सही स्थिरता पर ताकि जब आप इसे रोल करें, तो मक्खन बड़े करीने से सैंडविच के अंदर समतल हो जाए। फिर आप इसे तीन भागों में मोड़ते हैं, छह परतें बनाते हैं, और इसे ठंडा करते हैं ताकि परतें दृढ़ रहें और एक दूसरे में पिघलना शुरू न करें। फिर आप इसे बाहर रोल करें, इसे तीन में मोड़ो और इसे फिर से ठंडा करें। आप ऐसा छह बार करें। बार-बार तीन से गुणा करने से परतों की संख्या बहुत तेजी से बढ़ती है, और फिर जब आप पेस्ट्री को सेंकते हैं, तो मक्खन की पतली परत पिघल जाती है, मक्खन का तरल हिस्सा भाप बन जाता है और भाप बनाता है, और यह परतों को अलग करता है ताकि आप देख सकें पेस्ट्री शारीरिक रूप से ओवन में बढ़ती है, न केवल संख्या में लगातार बढ़ रही है।

यह घातीय वृद्धि का मेरा पसंदीदा प्रदर्शन है। अनौपचारिक रूप से, लोगों का कहना है कि चीजें तेजी से बढ़ रही हैं इसका मतलब यह है कि वे बहुत बढ़ रहे हैं, जो सच है, लेकिन औपचारिक गणितीय अर्थ यह है कि यह हर समय समान अनुपात में बढ़ रहा है। अगर मैंने पहली बार पफ पेस्ट्री को तीन गुना किया, और फिर चार, और फिर पाँच, और फिर छह, परतों की संख्या और भी तेज़ी से बढ़ेगी, लेकिन यह घातीय नहीं होगा क्योंकि गुणन की दर बदल रही है।

मुझे इस तथ्य से प्यार है कि घातीय वृद्धि सीधे पफ पेस्ट्री में स्वादिष्टता में बदल जाती है। पेस्ट्री की कई परतें केवल नाटकीय और सुंदर नहीं हैं, लेकिन इतनी पतली हैं कि वे किसी के मुंह में नाजुक रूप से पिघल जाती हैं। पफ पेस्ट्री को बनाने में मुश्किल होने की प्रतिष्ठा है, लेकिन मुझे लगता है कि विधि की प्रतिभा यह है कि घातांक का उपयोग वास्तव में पेस्ट्री की उन अविश्वसनीय रूप से पतली परतों को बनाने के लिए आसान बनाता है। आखिरकार, ऐसी पतली परतों को अलग-अलग रोल करना बहुत मुश्किल होगा। और गणित का पूरा बिंदु कठिन चीजों को आसान बनाने के लिए होना चाहिए।

दुर्भाग्य से यह अक्सर मुश्किल चीजों को बनाने का एक तरीका है।

बेसिक बुक्स, मार्च 2017 द्वारा प्रकाशित यूजेनिया चेंग द्वारा बियॉन्ड इन्फिनिटी के कुछ अंश। अनुमति के साथ प्रकाशित।

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